article published yes Margaret Bilu author 98C47862-10D5-11EA-BEDD-0F6F3DDC885E Timothy D Browning author 35827D50-F248-11E8-B48F-1D18A9856A870000-0002-8314-0177 TiBr department A motivic circle method project Rational curves via function field analytic number theory project The circle method has been successfully used over the last century to study rational points on hypersurfaces. More recently, a version of the method over function fields, combined with spreading out techniques, has led to a range of results about moduli spaces of rational curves on hypersurfaces. In this paper a version of the circle method is implemented in the setting of the Grothendieck ring of varieties. This allows us to approximate the classes of these moduli spaces directly, without relying on point counting, and leads to a deeper understanding of their geometry. La méthode du cercle a été utilisée avec succès au cours du siècle dernier pour l’étude des points rationnels sur les hypersurfaces. Plus récemment, une version fonctionnelle de cette méthode, combinée à des techniques d’étalement, a mené à une série de résultats sur les espaces de modules de courbes sur les hypersurfaces. Dans cet article on implémente une version de la méthode du cercle dans le cadre de l’anneau de Grothendieck des variétés. Cela permet d’approximer les classes de ces espaces de modules directement, sans recours au comptage de points, ce qui donne accès à une compréhension plus profonde de leur géométrie. Société Mathématique de France2025 eng Circle methodmoduli spaces of curveshypersurfacesGrothendieck ring of varietiesmotivic integration 0012-9593 1873-2151 2304.0964510.24033/asens.2628 5851179-1242 M. Bilu, T.D. Browning, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 58 (2025) 1179–1242. Bilu M, Browning TD. 2025. A motivic circle method. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. 58(5), 1179–1242. Bilu, Margaret, and Timothy D Browning. “A Motivic Circle Method.” <i>Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure</i>. Société Mathématique de France, 2025. <a href="https://doi.org/10.24033/asens.2628">https://doi.org/10.24033/asens.2628</a>. M. Bilu and T. D. Browning, “A motivic circle method,” <i>Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure</i>, vol. 58, no. 5. Société Mathématique de France, pp. 1179–1242, 2025. Bilu, Margaret, and Timothy D. Browning. “A Motivic Circle Method.” <i>Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure</i>, vol. 58, no. 5, Société Mathématique de France, 2025, pp. 1179–242, doi:<a href="https://doi.org/10.24033/asens.2628">10.24033/asens.2628</a>. Bilu, M., &#38; Browning, T. D. (2025). A motivic circle method. <i>Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure</i>. Société Mathématique de France. <a href="https://doi.org/10.24033/asens.2628">https://doi.org/10.24033/asens.2628</a> Bilu M, Browning TD. A motivic circle method. <i>Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure</i>. 2025;58(5):1179-1242. doi:<a href="https://doi.org/10.24033/asens.2628">10.24033/asens.2628</a> 229292026-09-13T22:01:57Z2026-09-17T08:22:39Z