Solubility of a resultant equation and applications

The large sieve is used to estimate the density of quadratic polynomials Q ∈ Z[x], such that there exists an odd degree polynomial defined over Z which has resultant ±1 with Q. Given a monic polynomial R ∈ Z[x] of odd degree, this is used to show that for almost all quadratic polynomials Q ∈ Z[x], there exists a prime p such that Q and R share a common root in Fp. Using recent work of Landesman, an application to the average size of the odd part of the class group of quadratic number fields is also given

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Le grand crible est utilisé pour estimer la densité des polynômes quadratiques Q ∈ Z[x] tels qu’il existe un polynôme de degré impair défini sur Z dont le résultant avec Q est égal à ±1. Étant donné un polynôme unitaire R ∈ Z[x] de degré impair, on s’en sert pour montrer que, pour presque tous les polynômes quadratiques Q ∈ Z[x], il existe un nombre premier p tel que Q et R aient une racine commune dans Fp. En utilisant des travaux récents de Landesman, on obtient également une application concernant la taille moyenne de la partie impaire du groupe de classe des corps quadratiques.