A motivic circle method

The circle method has been successfully used over the last century to study rational points on hypersurfaces. More recently, a version of the method over function fields, combined with spreading out techniques, has led to a range of results about moduli spaces of rational curves on hypersurfaces. In this paper a version of the circle method is implemented in the setting of the Grothendieck ring of varieties. This allows us to approximate the classes of these moduli spaces directly, without relying on point counting, and leads to a deeper understanding of their geometry.

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La méthode du cercle a été utilisée avec succès au cours du siècle dernier pour l’étude des points rationnels sur les hypersurfaces. Plus récemment, une version fonctionnelle de cette méthode, combinée à des techniques d’étalement, a mené à une série de résultats sur les espaces de modules de courbes sur les hypersurfaces. Dans cet article on implémente une version de la méthode du cercle dans le cadre de l’anneau de Grothendieck des variétés. Cela permet d’approximer les classes de ces espaces de modules directement, sans recours au comptage de points, ce qui donne accès à une compréhension plus profonde de leur géométrie.