Exposé Bourbaki 1230 : Upper bounds on diagonal Ramsey numbers (after Campos, Griffiths, Morris, and Sahasrabudhe)

Ramsey's theorem states that if N is sufficiently large, then no matter how one colors the edges among N vertices with two colors, there are always k vertices spanning edges in only one color. Given this theorem, it is natural to ask "how large is sufficiently large?" Ramsey's original proof showed that N=k! is sufficient, and five years later Erdős and Szekeres improved this bound to N=4^k . And then progress stalled for almost 90 years. In this survey, I present the history of the problem, and discuss some of the ideas used in the recent breakthrough of Campos–Griffiths–Morris–Sahasrabudhe, who proved that N=3.993^k is sufficient. In addition, I discuss the subsequent work of Balister, Bollobás, Campos, Griffiths, Hurley, Morris, Sahasrabudhe, and Tiba, who gave an alternative, and more conceptual, proof.

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Le théorème de Ramsey stipule que si N est suffisamment grand, alors quelle que soit la manière dont l'on colore les arêtes entre N sommets avec deux couleurs, il y a toujours k sommets dont les arêtes ne sont colorées que d'une seule couleur. Compte tenu de ce théorème, il est naturel de se demander "À quel point N doit être grand ?" La preuve originale de Ramsey a montré que N=k! suffit, et cinq ans plus tard, Erdős et Szekeres ont amélioré cette borne à N=4k . Puis le progrès s'est arrêté pendant près de 90 ans. Dans cet exposé, je présente l'histoire du problème et je discute certaines idées utilisées dans la percée récente de Campos--Griffiths-Morris--Sahasrabudhe, qui ont prouvé que N=3,993k suffit. De plus, je discute le travail suivant de Balister, Bollobás, Campos, Griffiths, Hurley, Morris, Sahasrabudhe, et Tiba, qui ont donné une preuve alternative et plus conceptuelle.